让一个猜想，
从亲手探索开始

椭圆模型中 a=2，c=ae，b²=a²−c²，动点 P=(a cos t,b sin t)，PF₁+PF₂=2a。双曲线中 b²=c²−a²，所示为两个分支及右支动点，距离差的绝对值为 2a。抛物线用 y²=4px、p=1，焦点为 (p,0)，准线为 x=−p；动点到焦点与准线的距离相等。圆是椭圆 e=0 的情形；这时不再使用有限准线的焦准比定义。图形按同一比例绘制，不模拟三维切割。

本例差商为 [(x₀+h)²−x₀²]/h=2x₀+h，所以 h 趋于 0 时，差商趋于 2x₀。界面只取正增量；对这个函数，从负增量一侧也得到相同极限。一般函数的导数需要两侧极限一致，端点处则另行讨论。h=0 时不能直接代入差商。

在 [0,1] 上，x² 连续且递增，左端点和不超过真实面积，右端点和不小于真实面积。积分 ∫₀¹x²dx=1/3。中点和在本例中偏小，其误差为 −1/(12n²)。这是特定函数的结论，不能直接推广为所有函数都低估。

在固定 p、独立重复的伯努利模型下，频率的期望为 p，标准差为 √[p(1−p)/n]。大数定律描述随次数增长的概率收敛，不保证误差逐步单调减小，也不意味着下一次会补偿过去的偏差。界面为保持清晰，在试验很多时对曲线显示点进行抽样，统计值仍计入全部试验。

对去掉孤立点后连通的有限无向图，存在经过每条边恰好一次的欧拉路径，当且仅当奇度顶点有 0 个或 2 个。若有两个，路径必须从一个奇度顶点出发，到另一个结束。必要性的直观是：除起点和终点外，每次进入都要配对一次离开。充分性还需要构造路径的论证。双环图的各顶点均为偶度，可从任意顶点出发并回到起点。哥尼斯堡七桥把四块陆地看作顶点，七座桥看作边，度数为 3、5、3、3，因此无法各经过一次。连接同一对陆地的不同桥是不同的边，图中用两条独立曲线表示。房子网络只有底部 A、B 为奇度顶点，需从其中一个出发；K₄ 有四个奇度顶点，作为不可完成的反例。

若初始线段长 L₀，第 k 次迭代共有 4ᵏ 段，每段长 L₀/3ᵏ，总长 L₀(4/3)ᵏ。无限次迭代的极限曲线具有自相似性，其相似维数 d 满足 4(1/3)ᵈ=1，故 d=log 4/log 3≈1.2619。屏幕只展示有限折线；有限折线的维数仍为 1，不能将极限对象的性质直接赋给预览图。

单位圆半径为 1，P=(cos θ,sin θ)。由距离公式得 cos²θ+sin²θ=1。角度先按 θπ/180 转为弧度再计算。图中的有向投影不是普通非负长度；它们的绝对值才是对应线段的长度。

设斜边长为 c。相邻三角形的两个锐角之和为 90°，故中央四边形的内角都是 90°，四条边又同为斜边 c，所以它是正方形。于是 c²=(a+b)²−4·ab/2=a²+b²。图中自动缩放的是整体比例，面积数值仍按当前 a、b 计算。

固定数据为 (0,1)、(1,2)、(2,2)、(3,4)、(4,5)。最小化 SSE=Σ[yᵢ−(mxᵢ+b)]²。由于横坐标不全相同，最小解唯一：m=1、b=0.8，SSE=0.8。残差按竖直方向度量，区别于点到直线的最短距离；拟合关系不能单独证明因果关系。

x²−2 在 [1,2] 连续且严格递增，端点异号，所以区间内恰有一个根。k 次二分后，区间宽为 2⁻ᵏ；用区间中点近似，绝对误差不超过 2⁻⁽ᵏ⁺¹⁾。一般连续函数的异号区间保证至少有根，未必只有一个。